Quelques fondamentaux théoriques

Les fondations de la physique classique

La Mécanique Newtonienne, du nom du physicien anglais Isaac Newton, est née au XVIIe siècle et a constitué le pilier de la physique pendant plusieurs siècles. Elle a révolutionné notre compréhension du mouvement des objets, tant sur Terre que dans l’espace. Les lois de Newton ont ainsi permis d’unifier la mécanique céleste et la mécanique terrestre.

Les lois de Newton :

Les trois lois du mouvement de Newton ainsi que sa loi de la gravitation universelle sont les fondements de sa théorie :

1. Loi d’inertie : Tout corps persévère dans son état de repos ou de mouvement rectiligne uniforme tant qu’une force extérieure ne vient pas modifier cet état.
2. Principe fondamental de la dynamique : La somme des forces appliquées à un corps est égale au produit de sa masse par son accélération (F=m.a).
3. Principe des actions réciproques : Les actions mutuelles de deux corps sont toujours égales et de sens contraire (F₁₂ = -F₂₁, avec F₁₂ : force exercée par l’objet 1 sur l’objet 2 et F₂₁ : force exercée par l’objet 1 sur l’objet 2).

Ces lois de Newton permettent de décrire le mouvement d’un objet en fonction des forces qui s’exercent sur lui.

La loi de la gravitation universelle de Newton :

F = G * (m₁ * m₂) / r²

où :

• • F : force d’attraction gravitationnelle entre les deux objets (en newtons, N)
  • G : constante de gravitation universelle (environ 6,674 × 10⁻¹¹ N.m²/kg²)
  • m₁ et m₂ : masses des deux objets (en kilogrammes, kg)
  • r : distance séparant les centres de gravité des deux objets (en mètres, m)

Ces équations forment le cœur de la mécanique classique. Elles ont permis de décrire avec une précision remarquable le mouvement des planètes, des comètes et d’autres corps célestes.

Ces lois sont présentées de façon simple et ludique dans les vidéos ci-contre : « Les 3 lois de Newton » (Les Génies de la Science) et « La loi de gravitation universelle » (Philippe Kopel, PhilZiK).

Expériences clés :

De nombreuses observations et expériences ont permis d’anticiper ou de « valider » la Mécanique Newtonienne (à certaines échelles), par exemple :

• Les lois de Kepler : Ces lois, qui décrivent le mouvement des planètes autour du Soleil, avaient été établies de manière empirique au début du XVIIe siècle. Elles n’ont trouvé leur « confirmation » théorique qu’avec les lois de Newton en combinant sa deuxième loi et la loi de la gravitation universelle.

– Loi des orbites (1609) : Chaque planète décrit une ellipse dont le Soleil occupe l’un des foyers.

Cette loi abandonne l’idée d’orbites circulaires parfaites et introduit la notion d’excentricité orbitale, qui quantifie l’écart d’une ellipse par rapport à un cercle.

– Loi des aires (1609) : Le rayon vecteur reliant une planète au Soleil balaie des aires égales pendant des durées égales.Cette loi implique que la vitesse orbitale d’une planète n’est pas constante : elle est plus élevée lorsque la planète est proche du Soleil (périgée) et plus faible lorsqu’elle en est éloignée (aphélie). Mathématiquement, elle s’exprime par : dA/dt = constante, où dA est l’aire balayée par le rayon vecteur pendant un temps dt.

– Loi des périodes (1619) : Le carré de la période de révolution d’une planète autour du Soleil est proportionnel au cube du demi-grand axe de son orbite elliptique.

Cette loi établit une relation entre la taille de l’orbite d’une planète et la durée de sa révolution. Mathématiquement, elle s’écrit : T² ∝ a³, où T est la période de révolution et a le demi-grand axe.

• Les expériences de Galilée : Les expériences de Galilée sur la chute des corps ont permis à Newton de formuler ses lois du mouvement, en particulier la deuxième loi.
• Les expériences de Cavendish : Cavendish a mesuré la constante de gravitation universelle G, confirmant ainsi la loi de la gravitation de Newton.

Limitations de la Mécanique Newtonienne :

Bien que la Mécanique Newtonienne ait été un succès extraordinaire, elle présente des limites :

• Vitesses élevées : Ces lois ne sont plus valables pour les objets se déplaçant à des vitesses proches de celle de la lumière. Dans ce cas, il faut faire appel à la Relativité Restreinte d’Einstein.
• Phénomènes à l’échelle atomique : La théorie de Newton ne décrit pas correctement le comportement des particules à l’échelle atomique. Pour cela, il faut utiliser la Mécanique Quantique.
• La gravitation : Bien que la loi de la gravitation universelle de Newton ait été très précise pour décrire la gravitation à grande échelle, elle ne rend pas compte de certains phénomènes, comme la déviation de la lumière par les masses, qui nécessitent la Relativité Générale.

Une nouvelle vision de l’espace-temps

La Relativité Restreinte, élaborée par Albert Einstein en 1905, a révolutionné notre compréhension de l’espace et du temps. Elle est née d’une volonté de concilier les équations de Maxwell de l’électromagnétisme et la Mécanique Newtonienne, qui semblaient incompatibles dans certains cas.

Cette théorie est présentée dans la vidéo « La Relativité Restreinte » de David Louapre (ScienceEtonnate), ci-contre.

Principes de base :

La Relativité Restreinte repose sur deux postulats fondamentaux :

• Le principe de relativité: Les lois de la physique sont les mêmes dans tous les référentiels inertiels (c’est-à-dire en mouvement rectiligne uniforme les uns par rapport aux autres).
• La constance de la vitesse de la lumière: La vitesse de la lumière dans le vide est la même pour tous les observateurs, quelle que soit leurs vitesses relatives.

Support théorique :

Les principales équations de la Relativité Restreinte sont :

• Les transformations de Lorentz :

Les transformations de Lorentz décrivent comment les coordonnées d’un événement (un point dans l’espace-temps) changent lorsqu’on passe d’un référentiel inertiel à un autre.

Considérons deux référentiels inertiels (O, x, y, z) et (O’, x’, y’, z’) se déplaçant à une vitesse constante v l’un par rapport à l’autre le long de l’axe des x. Les transformations de Lorentz s’écrivent :

x' = γ(x - vt)
y' = y
z' = z
t' = γ(t - vx/c²)

où :

– x, y, z, t : coordonnées d’un événement dans le référentiel (O)

– x’, y’, z’, t’ : coordonnées du même événement dans le référentiel (O’)

– v : vitesse relative des deux référentiels

– c : vitesse de la lumière dans le vide

– γ (gamma) : facteur de Lorentz, défini par γ = 1/√(1 – v²/c²)

• La relation masse-énergie :

La célèbre équation d’Einstein qui relie la masse et l’énergie est :

où :

– E : énergie totale d’un système

– p : quantité de mouvement du système (p = masse x vitesse)

– m : masse du système

– c : vitesse de la lumière dans le vide

Pour un système au repos (p=0), l’équation s’écrit donc:

E = mc²

Cette équation exprime l’équivalence entre la masse et l’énergie. Elle montre qu’une petite quantité de masse peut être convertie en une énorme quantité d’énergie, comme cela se produit dans les réactions nucléaires.

Quelques remarques importantes :

• Le facteur de Lorentz (γ): Ce facteur apparaît dans de nombreuses équations de la Relativité Restreinte. Il décrit les effets relativistes tels que la dilatation du temps et la contraction des longueurs. Lorsque la vitesse v est très petite par rapport à la vitesse de la lumière c, γ tend vers 1, et on retrouve les lois de la mécanique classique.
• La dilatation du temps: Un observateur au repos mesure un intervalle de temps plus long entre deux événements qu’un observateur en mouvement par rapport à ces événements.
• La contraction des longueurs: Un objet en mouvement semble plus court dans la direction de son mouvement lorsqu’il est observé depuis un référentiel au repos.

Principales expériences :

De nombreuses expériences ont confirmé les prédictions de la Relativité Restreinte, notamment :

• L’expérience de Michelson-Morley: Cette expérience a montré que la vitesse de la lumière est constante, indépendamment du mouvement de la Terre. Réalisée en1887, elle consistait à mesurer, à l’aide d’un interféromètre, la différence de la vitesse de la lumière entre deux directions perpendiculaires, à six mois d’intervalle. C’est Hendrik Lorentz qui interpréta les résultats comme étant l’expression du caractère absolu de la vitesse de la lumière.
• La dilatation du temps: Des expériences avec des horloges atomiques ont montré que le temps s’écoule plus lentement pour un objet en mouvement par rapport à un observateur au repos.

Limitations de la Relativité Restreinte :

La Relativité Restreinte est une théorie très puissante, mais elle ne s’applique qu’aux référentiels inertiels et ne prend pas en compte la gravitation. Pour décrire la gravitation, il faut faire appel à la Relativité Générale.

Une nouvelle vision de la gravitation

La Relativité Générale, élaborée par Albert Einstein au début du XXe siècle, a bouleversé notre vision de l’Univers en proposant une description révolutionnaire de la gravitation.

Principes de base :

La Relativité Générale repose sur deux idées fondamentales :

• Le principe d’équivalence: Un champ gravitationnel est localement indistinguable d’un référentiel accéléré. Cela signifie qu’un observateur en chute libre ne ressent pas les effets de la gravité.
• La courbure de l’espace-temps: La présence de matière et d’énergie courbe l’espace-temps, et cette courbure détermine le mouvement des objets. (voir également le chapitre sur l’espace-temps dans la page « Distances et temps« )

Les concepts de base de cette théorie sont illustrés dans la vidéo « Les concepts de la Relativité Générale » d’Alessandro Roussel (ScienceClic), ci-contre.

Support théorique :

Les équations d’Einstein sont au cœur de la Relativité Générale. Elles relient la courbure de l’espace-temps à la distribution de matière et d’énergie. La forme la plus connue est :

où :

– Rμν: Tenseur de Ricci, qui décrit la courbure de l’espace-temps.

– gμν: Tenseur métrique, qui décrit la géométrie de l’espace-temps.

– R: Scalaire de Ricci, qui donne une mesure globale de la courbure de l’espace-temps en un point donné.

– : Constante cosmologique.

– k = 8πG/c⁴ avec G la constante gravitationnelle de Newton et c la vitesse de la lumière dans le vide.

– Tμν: Tenseur énergie-impulsion, qui décrit la distribution de matière et d’énergie dans l’espace-temps.

Sachant que le tenseur d’Einstein s’écrit :

l’équation d’Einstein peut donc s’énoncer de manière plus compacte:

+ g =  k Tμν

Notons que la constante cosmologique a été rajoutée par Einstein à son équation afin que celle-ci soit compatible d’un univers statique. En effet Einstein ne croyait pas, à cette époque, à l’expansion de l’univers. Il a plus tard reconnu son erreur.

Notons tout de même que les recherches actuelles en cosmologie rétablissent cette constante cosmologique pour expliquer l’accélération observée de l’expansion de l’univers. Elle agirait ainsi comme une anti-gravité et pourrait donc être la manifestation de l’énergie sombre. (voir également les pages « L’énergie sombre » et « Le destin de l’univers« )

Attention, l‘équation d’Einstein est une équation dans l’espace des tenseurs. Elle peut s’exprimer à l’aide 6 équations scalaires indépendantes.

Interprétation physique de l’équation d’Einstein :

Le terme de gauche de l’équation correspond à la courbure de l’espace-temps déterminée par la métrique, et le terme de droite représente le contenu masse/énergie de l’espace-temps. L’équation d’Einstein décrit donc comment la courbure de l’espace-temps est reliée au contenu masse/énergie de l’univers.

Voir également ci-dessus l’excellent cours  « Introduction à la Relativité Générale » d’Aurélien Barrau à l’Université Grenoble-Alpes.

Les outils mathématiques :

La Relativité Générale, théorie géométrique de la gravitation, requiert un formalisme mathématique riche. Plusieurs outils sophistiqués ont ainsi été élaborés pour permettre sa formalisation. Les principaux outils sont :

Les tenseurs :

Structures mathématiques généralisant les vecteurs, les tenseurs permettent de décrire des quantités physiques qui se transforment de manière bien définie lors d’un changement de coordonnées. Les principaux tenseurs utilisés dans la théorie sont:

• Tenseur métrique: Tenseur symétrique de rang 2, il permet de déterminer comment les objets se déplacent dans un espace-temps courbé par la présence de masse et d’énergie. Il peut être utilisé pour calculer l’intervalle d’espace-temps entre deux événements. En d’autres termes, il code la structure géométrique de l’espace-temps.
• Tenseur de Riemann: Cet objet mathématique mesure la courbure intrinsèque de l’espace-temps en chaque point, en considérant comment les vecteurs changent lorsqu’ils sont transportés le long de différentes trajectoires. Il capture l’idée que dans un espace-temps courbé, l’ordre dans lequel vous effectuez des déplacements successifs importe. En termes plus simples, il indique si l’espace-temps est plat ou courbé, et dans quelle mesure.
• Tenseur de Ricci: Tenseur de rang 2, dérivé du tenseur de Riemann, il fournit une information sur la courbure moyenne de l’espace-temps. Il est dérivé du tenseur de Riemann. En termes simples, le tenseur de Ricci mesure la façon dont le volume des petites boules dans l’espace-temps est déformé par la gravité.
• Tenseur d’énergie-impulsion: Tenseur de rang 2, il fournit une description complète de la manière dont la matière et l’énergie influencent la géométrie de l’espace-temps.
• Tenseur d’Einstein: Combinant le tenseur de Ricci et la courbure scalaire (voir ci-dessous), il capture la façon dont l’espace-temps est courbé en chaque point par la matière et l’énergie.

Autres outils importants :

• Symboles de Christoffel: Ces coefficients permettent de calculer la dérivée covariante, qui généralise la notion de dérivée ordinaire à un espace courbe. Ils interviennent notamment dans le calcul du tenseur de de Riemann. Ils sont liés à la façon dont les vecteurs changent lorsqu’ils sont transportés le long de courbes dans un espace courbé. Plus simplement, ils indiquent comment la géométrie de l’espace-temps varie d’un point à l’autre.
• Courbure scalaire: Cette valeur scalaire, notée R dans l’équation d’Einstein, traduit la courbure globale de l’espace-temps en un point donné, en considérant toutes les directions. Plus concrètement, elle indique de combien le volume d’une petite sphère dans l’espace-temps diffère du volume d’une sphère de même rayon dans un espace euclidien. Une courbure scalaire positive signifie que le volume de la sphère est plus petit que dans un espace « plat », tandis qu’une courbure scalaire négative signifie qu’il est plus grand. Elle est invariante par changement de coordonnées,

Le lecteur « passionné » trouvera ci-dessous 8 petites vidéos réalisées par Alessandro Roussel (ScienceClic) et qui donne une bonne première approche de ces outils.

Principales expériences :

De nombreuses expériences ont confirmé les prédictions de la Relativité Générale, par exemple :

• La déviation de la lumière par le Soleil: La lumière d’une étoile lointaine est déviée par le champ gravitationnel du Soleil lors d’une éclipse totale. (cf la page « La lumière »)
• Le décalage vers le rouge gravitationnel: La lumière émise par une source située dans un champ gravitationnel est décalée vers les longueurs d’onde plus grandes (rouges). (cf la page « La lumière »)
• La précession du périhélie de Mercure: Au milieu du XIXème siècle, les astronomes ont observé que le périhélie de Mercure (le point de son orbite le plus proche du Soleil) se décalait légèrement avec le temps (environ 38 secondes d’arc par siècle), en contradiction avec les prédictions de la Mécanique Newtonienne. Il a fallu attendre les équations de la Relativité Générale au XXème siècle pour solutionner cette énigme.
• Les trous noirs: Les équations d’Einstein prédisent l’existence d’objets célestes si denses que leur champ gravitationnel empêche toute forme de matière ou de rayonnement de s’en échapper. (cf la page « Les trous noirs »)
• Les ondes gravitationnelles: Ces ondes sont des perturbations de la courbure de l’espace-temps qui se propagent à la vitesse de la lumière. Prédites par Einstein, elles sont générées par des événements cosmiques violents, comme la fusion de trous noirs ou d’étoiles à neutrons. Elles transportent de l’énergie et nous offrent une nouvelle fenêtre sur l’Univers, permettant de sonder des phénomènes inaccessibles à la lumière. Leur détection directe, réalisée pour la première fois en 2015 par les interféromètres Ligo et Virgo, a marqué une avancée majeure en astrophysique et en physique fondamentale. L’étude des ondes gravitationnelles ouvre de nouvelles perspectives prometteuses pour comprendre la nature de la gravité, l’évolution des étoiles et la structure de l’Univers.

Limitations de la Relativité Générale :

Bien que la Relativité Générale ait été extrêmement fructueuse, elle présente certaines limites :

• L’incompatibilité avec la Mécanique Quantique: La Relativité Générale et la Mécanique Quantique, les deux piliers de la physique moderne, ne sont pas encore complètement conciliées.
• Les singularités: Les équations de la Relativité Générale prédisent l’existence de singularités, des points où certaines valeurs physiques deviennent infinies (comme la densité ou la température au centre d’un trou noir). Cela suggère que la théorie peut ne pas être complète dans ces régimes extrêmes.

La résolution de ces limitations fait actuellement l’objet d’intenses recherches, notamment au travers des nouvelles « théories d’unification » (cf la page « Les théories d’unification« ).

Ψ  Pour aller plus loin…

• « L’Univers selon Einstein » de Jean-Pierre Luminet: Ce livre est un classique de la vulgarisation scientifique qui aborde de manière claire et accessible les concepts fondamentaux de la Relativité Générale, avec de nombreuses illustrations.
• « Gravité » de Roger Penrose: Un ouvrage plus technique, mais qui offre une vision profonde et détaillée de la théorie, en particulier de ses implications en cosmologie.
• « Relativité Générale » de Aurélien Barrau et Julien Grain: Un livre de cours très complet (niveau master, écoles d’ingénieurs).